Teori Peluang

Teori Peluang

Hampir semua kejadian di dunia ini sifatnya tidak pasti. Terlebih lagi kalau kejadian tersebut menyangkut masa yang akan datang. Dari tebakan itu muncul kemungkinan atau peluang atau probabilitas kejadian yangbersangkutan yang kemudian melahirkan sebuah teori yang dikenal sebagai teori probabilitas.

Saat ini teori peluang telah menjadi suatu alat penting dalam berbagai bidang rekayasa, meteorologi, asuransi,operasi-operasi bisnis, dan berbagai bidang eksperimen. Bahkan teori peluang menjadi dasar metode statistik, yaitu suatu bidang matematika yang aplikasinya hampir meliputi semua bidang.

Konsep-konsep probabilitas didukung oleh banyak teori, seperti teori himpunan, permutasi, dan kombinasi.

A.   Himpunan

1. Pengertian Himpunan

Himpunan adalah kumpulan objek yang didefinisikan dengan jelas dan dapat dibeda-bedakan. Setiap objek yang secara kolektif membentuk himpunan tersebut disebut elemen atau unsur atau anggota dari himpunan tersebut.

Himpunan dilambangkan dengan sepasang kurung kerawal {} dan biasanya dinyatakan dengan huruf besar, seperti A, B, C, ….Anggota himpunan dinyatakan dengan Î dan bukan himpunan dilambangkan dengan Ï. Dalam statistk himpunan dikenal sebagai populasi.

2. Penulisan Himpunan

Himpunan dapat ditulis dalam dua cara, yaitu cara pendaftaran dan cara pencirian.

a. Cara pendaftaran

Dengan cara pendaftaran, unsur himpunan ditulis satu persatu atau didaftar

Contoh :

1)    A = {a,i,u,e,o}

2)    B = {1,2,3,4,5}

b. Cara pencirian

Dengan cara pencirian, unsur-unsur himpunan ditulis dengan menyebutkan sifat-sifat atau ciri-ciri unsur himpunan tersebut.

Contoh :

1)    A = {X : x huruf hidup}

2)    B = {X : 1 £ x £ 5 }

Tanda (:) dibaca sedemikian rupa, sehingga atau X dimana

3. Macam-macam himpunan 

a.      Himpunan semesta

Himpunan semesta adalah himpunan yang memuat seluruh objek yang dibicarakan atau himpunan yang menjadi objek pembicaraan. Himpunan semesta dilambangkan dengan S atau U

Contoh :

S = U = {a, b, c, ......}

S = U = {X : x bilangan asli }

b.      Himpunan Kosong

adalah himpunan yang tidak memiliki anggota. Himpunan kosong dilambangkan dengan f atau { }

c.    Himpunan bagian

Adalah himpunan yang menjadi bagian dari himpunan lain. Himpunan bagian dilambangkan Ì, Banyaknya himpunan bagian dari sebuah himpunan dengan n unsur adalah 2ⁿ.

Contoh :

Jika diketahui A = {1,2,3}, tentukan banyaknya himpunan bagian dari A dan tuliskan himpunan-himpunan bagian tersebut.

Penyelesaian :

-       Banyaknya himpuan bagian A adalah 2³ = 8

-       Himpunan bagian di atas adalah : { }, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}

d.    Himpunan komplemen

Adalah himpuan semua unsur yang tidak temasuk dalam himpunan yang diberikan. Jika himpunannya adalah A maka himpunan komplemennya dilambangkan A^c atau A’ atau A rata-rata.

Contoh :

Jika diketahui S = {1,2,3,4,5,6,7}

                        B = {2,3,4}

Tentukan B^c !

Penyelesaian :

B^c = {1,5,6,7}

Diagram Vennya adalah :

   

B^c = daerah yang diarsir

Digram Venn Himpunan B^c

4. Operasi Himpunan

a.      Operasi gabungan (union)

Gabungan dari himpunan A dan himpunan B adalah semua unsur yang termasuk di dalam A atau didalam B atau di dalam A dan B sekaligus. Gabungan dari himpunan A dan himpunan B dilambangkan A È B atau A + B. Dituliskan : A È B = {X : x Î A, x Î B, atau x Î AB}.

Diagram Vennnya :

                    A È B daerah yang diarsir

Contoh soal:

Jika diketahui:

S = { X : 0 < x < 10}

P   =   {2,3,5,7}

G   =   {2, 4, 6, 8, 10}

Tentukan: P È G!

Penyelesaian :

P È G = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10}

b.      Operasi irisan (interseksi)

Irisan dari himpunan A dan B adalah himpunan semua unsur yang termasuk di dalam A dan di dalam B. Irisan dari himpunan A dan himpunan B dilambangkan A Ç B atau AB dan dituliskan:

A Ç B = {X : x Î A dan x Î B}.

Diagram Vennya :

                        Diagram venn dari A Ç B

Contoh soal:

Jika diketahui: S = {X : 2 £ x £ 8}

  P = {2, 3, 5, 7}

  A = {2, 3, 4, 6} Tentukan PÇ A !

Penyelesaian: P Ç A = {2, 3}

c.      Operasi selisih

Selisih himpunan A dan B adalah himpunan semua unsur A yang tidak termasuk di dalam B. Selisih himpunan A dan himpunan B dilambangkan A - B atau AÇ B^c. Dituliskan: {X : x Î A dan x Ï B) atau {X : x Î A dan x Î B^c}.

Diagram Vennnya:

Diagram Venn dari A – B

Contoh soal: Jika diketahui:    S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

                                                      P = {2, 3, 5, 7}

                                                      G = {2, 4, 6, 8}

Tentukan P – G !

Penyelesaian:

P-G={3, 5, 7}

5.    Berapa Aturan dalam Himpunan

 

Contoh soal:

Suatu kelas yang jumlah mahasiswanya 70 orang, 50 orang di antaranya senang statistik, 40 orang senang matematika, serta 30 orang senang statistik dan matematika.

           a.   Berapa orang yang tidak senang statistik dan matematika?

           b.   Gambarkan diagram Vennnya!

          

           Penyelesaian :

a.   n(S) = 70 orang, n(S_t) = 50 orang, n(M) = 40 orang, n(S_t Ç M) =   30 orang.

  n(S_t È M) = n(S_t) + n(M) - n(S_t Ç M) = 50 + 40 - 30  = 60 orang

  n(S_t Ç M)^c = n(S) - n(S_t È M) = 70-60 = 10 orang

 b.   Diagram Vennnya:

      

         Diagram Venn dari n(S_t Ç M)^c

B.   Permutasi dan Kombinasi

1. Prinsip dasar membilang

Jika kejadian pertama dapat terjadi dalam n₁ cara, kejadian kedua dalam n2. cara, demikian seterusnya, sampai kejadian k dalam n_k cara, keseluruhan kejadian dapat terjadi dalam:

n₁ x n₂ x ... x n_k, cara

Contoh soal:

Seorang pengusaha ingin bepergian dari Jakarta ke Ujungpandang melalui Surabaya. Jika Jakarta-Surabaya dapat dilalui dengan tiga cara dan Surabaya-Ujungpandang dapat dilalui dengan dua cara, ada berapa cara pengusaha tersebut dapat tiba di Ujungpandang melalui Surabaya?

Penyelesaian:

Misalkan:    dari Jakarta ke Surabaya (n₁) = 3 cara

                     dari Surabaya ke Ujungpandang (n₂) = 2 cara

Cara pengusaha tersebut dapat tiba di Ujungpandang melalui Surabaya

adalah:

n₁ x n₂ = 3x2 = 6 cara

2.    Faktorial

Faktorial adalah perkalian semua bilangan bulat positif (bilangan asli) terurut mulai dari bilangan 1 sampai dengan bilangan bersangkutan atau sebaliknya. Faktorial dilambangkan: "!".

 Jika:   n   = 1, 2,     maka:

 n! = n(n - 1) (n - 2) ... x 2 x 1

= n(n - 1)!

Catatan:

1! = 1

0! = 1

Contoh soal:

Tentukan nilai faktorial dari bilangan berikut!

            a.         5!

            b.         3! x 2!

c.             

Penyelesaian:

            a.         5! = 5x4x3x2xl = 120

            b.         3! x 2! = 3 x 2 x 1 x 2 x 1 = 12

            c.       

1. Permutasi

a. Pengertian permutasi

Permutasi adalah suatu penyusunan atau pengaturan beberapa objek ke dalam suatu urutan tertentu.

Contoh:

1)      Ada 3 objek, yaitu ABC. Pengaturan objek-objek tersebut ialah ABC, ACB_, BCA, BAC_, CAB, CBA yang disebut permutasi. Jadi, permutasi 3 objek menghasilkan enam pengaturan dengan cara yang berbeda.

2)      Pengaturan 4 huruf dari 6 huruf pertama dalam abjad menghasilkan 360 cara yang berbeda.

Posisi 1	Posisi 2	Posisi 3	Posisi 4
tersedia	tersedia	tersedia	tersedia
pilihan	pilihan	pilihan	pilihan
6x5x4x3

Dari contoh tersebut, dapat diketahui bahwa banyaknya permutasi yang mungkin bergantung pada:

1)       ukuran kelompok asalnya,

2)       banyaknya objek yang dipilih dari kelompok itu.

b.   Rumus-rumus permutasi

1)  Permutasi dari n objek tanpa pengembalian

a)   Permutasi dari n objek seluruhnya

Permutasi dari n objek seluruhnya tanpa pengembalian dirumuskan;

nPn = n!

Contoh soal:

(1)  Tentukan nilai dari 4P4!
Penyelesaian'.

4P4 = 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24

(2)  Pada suatu tempat terdapat 4 buku matematika yang berbeda,
3 buku statistik yang berbeda, dan 2 buku akuntansi. Semua
buku akan disusun pada sebuah rak buku. Berapa cara susunan
yang mungkin dari kejadian berikut ini?

           (a)        •   Buku-buku matematika dapat disusun.

•      Buku-buku statistik dapat disusun.

•      Buku-buku akuntansi dapat disusun.

•      Ketiga kelompok buku itu dapat disusun.

            (b)       Masing-masing kelompok buku (subjek) disusun bersama
           (dijadikan satu).

Penyelesaian:

            (a)       •  Buku-buku matematika dapat disusun dalam:

   4P4 = 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24 cara

                 •  Buku-buku statistik dapat disusun dalam:

3P3 = 3! = 3 x 2 x 1 = 6 cara

               •  Buku-buku akuntansi dapat disusun dalam:

                                   2P2 = 2! = 2 x 1 = 2 cara

               •  Ketiga kelompok buku dapat disusun dalam:

3P3 = 3! = 3 x 2 x 1 = 6 cara

            (b)       Masing-masing kelompok buku disusun bersama dalam:

         4! x 3! x 2! x 3! = 24 x 6 x 2 x 6 = 1.728 cara

b) Permutasi sebanyak r dari n objek

     Permutasi sebanyak r dari n objek tanpa pengembalian dirumuskan:

     

    Contoh Soal :

    (1) Tentukan nilai dari 6P4!

     Penyelesaian :

            

(2) Dari empat calon pimpinan sebuah perusahaan, misalkan A, B, C,   dan D hendak dipilih seorang ketua, seorang sekretaris, dan seorang bendahara.

(a)         Berapa cara keempat calon tersebut dipilih?

(b)         Tuliskan kemungkinan susunannya!

Penyelesaian :

             n = 4 dan r = 3

            

   

b. Kemungkinan susunannya

    ABC, ABD, ACB, ADB, ADC, ACD BAC, BAD, BCA, BCD, BDA, BDC CAB_y CAD, CBA_f CBD, CDA, CDB DAB, DAC, DBA, DBC, DCA, DCB

b    Permutasi sebanyak r dari n objek

                  Permutasi sebanyak r dari n objek tanpa pengembalian dirumuskan:

                




            Contoh soal

(1)      Tentukan nilai dari 6P4

   Penyelesaian:
    

(2) Dari empat calon pimpinan sebuah perusahaan, misalkan A, B, C, dan D hendak dipilih seorang ketua, seorang sekretaris, dan seorang bendahara.

(a) Berapa cara keempat calon tersebut dipilih?

(b)  Tuliskan kemungkinan susunannya!

Penyelesaian: n = 4 dan r = 3

   (a)    

(b) Kemungkinan susunannya adalah ABC, ABD, ACB, ADB, ADC, ACD BAC, BAD, BCA, BCD, BDA, BDC CAB_, CAD, CBA_, CBD, CDA, CDB DAB, DAC, DBA, DBC, DCA, DCB